【每日算法Day 67】经典面试题:手动开根号,你知道几种方法?
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LeetCode 69. x 的平方根[1]
题目描述
实现 int sqrt(int n)
函数。
计算并返回 的平方根,其中 是非负整数。
由于返回类型是整数,结果只保留整数的部分,小数部分将被舍去。
示例1
输入:
4
输出:
2
示例2
输入:
8
输出:
2
解释:
8 的平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数,小数部分将被舍去。
题解
为了更加通用,我们这里直接实现 double sqrt(double n)
函数。也就是求出 的精确值,然后取整就行了。
今天要教给大家的主要有三种方法:牛顿法、二分法和梯度下降法,速度上是依次下降的。
首先令 ,也就是 ,也就是我们要求 的零点。
如果我们把 当作某个函数的导数,那么原函数就是 ,它的导数就是 。
现在问题很明朗了,要求 的值,等价于求 的根,等价于求 的极小值点(因为导数在非负数区间上零点唯一)。
牛顿法
求 的根可以采用牛顿法。
首先选取一个初值 ,然后在函数 处作切线,求出切线与 轴交点 。接着将交点坐标作为新的 ,然后重复上面步骤,直到 和 差值小于某个阈值。
直接给出计算得到的更新公式吧,大家也可以自己通过切线方程推导一下:
还可以通过泰勒展开得到这个公式,这里就不详细阐述了。
梯度下降法
求 的极小值点可以采用梯度下降法。
首先选取一个初值 ,然后按照 的导数的逆方向更新 ,具体更新多少取决于你设置的学习率 。
更新公式就是:
二分法
这就是很普通的二分方法了,因为 在 区间上是单调递增的,所以可以采用二分法求出零点,这里就不赘述了。
速度比较
我运行了一下从 到 每 个数开根号的结果,统计了一下三种方法需要的计算次数,如下图所示:
可以发现,牛顿法和二分法都是速度很快的,随着 增大,需要的次数越来越多。但是梯度下降法的次数和学习率关系很大,学习率大了可能收敛次数变小,但是可能不收敛(左右振荡)。随着 的增大,梯度下降法所需要的次数反而下降了,因为 越大,函数越陡峭, 处的导数就越大,这样 的更新幅度特别大。但是 特别大了以后,梯度下降法需要的时间就非常长了,学习率不是很好设置了。而导数也已经超出了 int
范围,实现上也不是很方便。
具体实现
具体实现上这题有几个注意的点,因为这题只要求你返回取整结果,所以要特别当心浮点数误差。
而梯度下降法实现时,学习率不能太大,不然会产生振荡,此外还会导致 更新幅度过大,直接变成负数,然后就陷入了死循环。
代码
c++
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
long y = int(newtonSqrt(x)) + 1;
return y*y > x ? y-1 : y;
}
double newtonSqrt(double n) {
double x0 = n;
while (abs(x0*x0-n) >= 1e-6) {
x0 = 0.5*(n/x0+x0);
}
return x0;
}
double binarySqrt(double n) {
double l = 0, r = n;
while (r-l >= 1e-6) {
double m = (l+r)/2;
if (m*m < n) l = m;
else r = m;
}
return r;
}
// 超时 double gdSqrt(double n) {
double x0 = n;
while (abs(x0*x0-n) >= 1e-6) {
double lr = min(1e-3, 1e-1*x0/(x0*x0-n));
x0 = x0-lr*(x0*x0-n);
}
return x0;
}
};
参考资料
[1]
LeetCode 69. x 的平方根: https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/
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