【每日算法Day 69】面试经典题：分发糖果问题
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LeetCode 135. 分发糖果[1]
题目描述
老师想给孩子们分发糖果，有 个孩子站成了一条直线，老师会根据每个孩子的表现，预先给他们评分。
你需要按照以下要求，帮助老师给这些孩子分发糖果：
- 每个孩子至少分配到
个糖果。
- 相邻的孩子中，评分高的孩子必须获得更多的糖果。
那么这样下来，老师至少需要准备多少颗糖果呢？
示例1
输入：
[1,0,2]
输出：
5
解释：
你可以分别给这三个孩子分发 2、1、2 颗糖果。
示例2
输入：
[1,2,2]
输出：
4
解释：
你可以分别给这三个孩子分发 1、2、1 颗糖果。
第三个孩子只得到 1 颗糖果，这已满足上述两个条件。
题解
这题虽然难度定义成困难，但其实代码不长，思路也比较简单清晰。
首先明确一下题目中的两个条件，我们可以把所有人的分数在坐标轴中连起来，这样就形成了一个波形图（图片来自官方题解）：
那么这就像一座一座山峰一样，在谷底（左右两边分数都大于等于它）糖果数一定是 。从谷底往两侧扩展，糖果数逐渐加
就行了。
要注意的一点是图中 pt.13 那个位置也是一个谷底，因为它右边的分数等于它。
那么问题的关键就是如何找到这些谷底了。
两次遍历
首先初始化所有人都分到 个糖果。
然后从左向右遍历一次所有分数，如果发现分数小于等于前一个人分数，那暂时不用管，因为你从左向右是没法知道下坡的点距离谷底还有多远的。而如果发现分数大于前一个人分数，那么就在前一个人糖果数基础上，再多分一个给他，因为是上坡，所以谷底一定在左边已经遍历过了，是知道距离的。
接着就是遍历下坡了，也就是从右向左遍历所有分数，同理如果发现分数大于后一个人分数，那么就在后一个人糖果数基础上，再多分一个给他。
但是这里要处理一个冲突，那就是峰顶既是上坡，又是下坡，其实只要两次遍历完取上坡和下坡中糖果数较大的那个就行了。
总结一下就是一次从左向右遍历所有上坡，一次从右向左遍历所有下坡，峰顶取两次较大值。
时间复杂度 ，空间复杂度
。
一次遍历
从上面方法中可以看出，本题求解的难点就在于从左向右遍历的时候，下坡到底有多长没法知道，必须全部遍历完了才能知道。还有就是山峰的值必须看左右两边的上坡下坡有多长。
为了解决这个问题，我们可以用变量 up 记录上坡的长度，down 记录下坡的长度。
当遇到谷底的时候，就表明一座山遍历结束了，那么我们只需要比较 up 和 down 的大小就知道峰顶取值了。
而如何判断一座山遍历结束呢？假设现在遍历到了第 个学生，我们再用两个变量，
ns 表示 到
的变化趋势（
：上升，
：下降，
：不变），
os 表示前一个时刻 到
的变化趋势。那么谷底只有下面三种情况：
且
。也就是前一个时刻在下降，当前时刻上升了，那显然第
个学生是谷底。
。也就是前一个时刻在下降，当前时刻不变，这种情况下第
个学生多。
且
这座山峰的的糖果数可以表示为三部分之和：上坡、下坡和峰顶。上坡就是 ，下坡就是
，峰顶就是
。算完了之后，这座山峰就再也不用考虑了，
up 和 down 都清零。
在具体实现的时候，这个方法细节有点多，一不小心就会错，直接看代码注释吧。
继续看下面这张图：
贴一段官方的样例解释：
时间复杂度 ，空间复杂度
。
单调栈
我们用一个单调栈来保存单调下降的得分，也就是下坡。
当遍历到第 个学生时，如果栈顶元素
的得分小于等于
的得分，也就是遇到谷底了，那么就出栈，直到栈空。
最后用一个很大的数将栈里所有元素顶出来就行了。
时间复杂度 ，空间复杂度
。
小结
第一种解法最容易理解和实现，也不用考虑什么特殊情况。但是后两种方法处理起来就稍稍有点麻烦了，需要结合样例和代码来理解。但是本质上都是一样的，都是从谷底（糖果数为 ）开始，向两周扩展。方法一是先从每个谷底向右边上坡扩展，再向左边下坡扩展。方法二是计算出相邻两个谷底之间的上坡下坡长度，然后直接计算。第三个方法是从每个谷底先向左边下坡扩展，再向右边上坡扩展。
代码
两次遍历（c++）
class Solution {
public:
int candy(vector<int>& ratings) {
int n = ratings.size();
vector<int> res(n, 1);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
if (ratings[i] > ratings[i-1]) {
res[i] = res[i-1] + 1;
}
}
for (int i = n-2; i >= 0; --i) {
if (ratings[i] > ratings[i+1]) {
res[i] = max(res[i], res[i+1]+1);
}
}
return accumulate(res.begin(), res.end(), 0);
}
};
一次遍历（c++）
class Solution {
public:
int count(int n) {
return n*(n+1)/2;
}
int candy(vector<int>& ratings) {
int n = ratings.size();
int sum = 0;
int up = 0, down = 0;
int os = 0, ns = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
ns = ratings[i]>ratings[i-1] ? 1 : (ratings[i]<ratings[i-1] ? -1 : 0);
// 这座山峰遍历结束，计算糖果数。 if ((os < 0 && ns >= 0) || os > 0 && ns == 0) {
// 这里看似好像峰顶没有加 1，其实是 count(down) 减去了 1。 // 因为谷底是共享的，所以将谷底给了下一座山峰的上坡。 sum += count(up) + count(down) + max(up, down);
up = down = 0;
}
if (ns > 0) up++;
else if (ns < 0) down++;
// 如果是平原，说明谷底不会共享，之前少加的 1 再补上。 else if (!ns) sum++;
os = ns;
}
// 最后一座山峰循环里不会计算到，再加上。 sum += count(up) + count(down) + max(up, down) + 1;
return sum;
}
};
单调栈（c++）
class Solution {
public:
int candy(vector<int>& ratings) {
ratings.push_back(INT_MAX);
int n = ratings.size();
vector<int> res(n, 1);
stack<int> st;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!st.empty() && ratings[i] >= ratings[st.top()]) {
while (!st.empty()) {
int j = st.top();
st.pop();
if (j < n-1 && ratings[j] > ratings[j+1]) {
res[j] = max(res[j], res[j+1]+1);
}
if (j > 0 && ratings[j] > ratings[j-1]) {
res[j] = max(res[j], res[j-1]+1);
}
sum += res[j];
}
}
st.push(i);
}
return sum;
}
};
参考资料
[1]
LeetCode 135. 分发糖果: https://leetcode-cn.com/problems/candy/
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