【每日算法Day 74】经典面试题：约瑟夫环，我敢打赌你一定不会最后一种方法！...

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题目描述

这 个数字排成一个圆圈，从数字 开始，每次从这个圆圈里删除第 个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如， 这 个数字组成一个圆圈，从数字 开始每次删除第 个数字，则删除的前 个数字依次是 ，因此最后剩下的数字是 。

示例1

        输入：
n = 5, m = 3
输出：
3

      

示例2

        输入：
n = 10, m = 17
输出：
2

      

说明：

题解

循环链表

用一个循环链表按顺序存储 到 中的数，然后每 个数删除掉链表中的一个结点，最后剩下的数就是答案了。

这种方法时间复杂度是 ，显然太高了，所以这里也不会给大家实现代码。

递推法

首先 个人的编号依次是 ，然后踢掉了编号为 的人，这时候剩下的人编号为 。

下一个踢掉的人就要从 开始数了，所以我们把剩下的人编号从 开始重新排个序，变成 。这样编号又变成连续的了，而问题规模缩减成了 个人。

剩下的这 个人的编号我们做一下映射，映射成 ，这样就能递推下去求解了。映射的公式就是，映射后的编号为 ，那么映射之前的编号就是 。

也就是说，如果我们求出了 个人最后剩下的人编号 ，那么 个人最后剩下的人编号就是 。

用 表示 个人最后剩下的人编号，那么就有：

这样的话时间复杂度就降到了 。

对于本题这个方法已经够用了，但是如果 非常大，比如 ，但是 不是很大，比如 ，那么这时候这种方法就会超时了。具体的题目请自行百度 HDU 3089 。

递推法加速

注意观察上面的递推式 ，如果 很小，而 很大的话，递推到后面要加很多次 才会对 求余。所以我们可以直接一下子加很多次 ，然后再求余，这样就能加速了。

加了 次 之后，递推式变成了：

假设加了 次 之后才产生了取余，那么就有 ，即 。所以每次都可以加 个 ，代码实现时用下取整，也就是 。

此外还需要注意，如果发现 ，也就是后面都不需要取余了，那么就直接一步加到底，退出循环得到答案。

这个方法时间复杂度不是很好分析，但应该也是对数级别的。

数学法

这个方法在我之前的文章中已经讲过了：

知乎高赞回答也整理过了一遍：

大致思想也是重新编号，做编号映射，但是和上面递推法不同的是复杂度降到了对数级别。

这里就不详细讲了，大家可以去看上面的文章，这里直接给出伪代码：

        D = 1
while D <= (m-1)n:
    D = k
ans = mn+1-D
      

其中 。

不过这个这里的编号是 到 ，所以最后答案要减去 。

这种方法将时间复杂度降到了 ，用对数换底公式后得到 。

可以看出，这种方法适用于 特别大，但是 特别小的情况。否则的话如果 很大，分母会非常小，导致复杂度非常高。

代码

递推法（c++）

        class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int last = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            (last += m) %= i;
        }
        return last;
    }
};

      

递推法加速（c++）

        class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        if (m == 1) return n-1;
        int last = 0, t = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i+=t) {
            t = (i-last+m-3) / (m-1);
            if (i+t-1 > n) {
                last += (n-i+1)*m;
                break;
            }
            (last += t*m) %= (i+t-1);
        }
        return last;
    }
};

      

数学法（c++）

        class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        long D = 1, end = (long)n*(m-1);
        while (D <= end) {
            D = (m*D+m-2) / (m-1);
        }
        return (long)n*m-D;
    }
};

      

参考资料

[1]

LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字: https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/

[2]

韦阳的博客：具体数学-第8课（取整进阶）: https://godweiyang.com/2018/04/16/concrete-math-8/

[3]

知乎专栏：具体数学-第8课（取整进阶）: https://zhuanlan.zhihu.com/p/35820332

[4]

世界上有哪些代码量很少，但很牛逼很经典的算法或项目案例？: https://www.zhihu.com/question/358255792/answer/974983270