生成函数学习笔记

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生成函数

二项式系数(组合数)

\(\displaystyle C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

\(n \in R,m \in N\)时广义二项式定理系数

\(\displaystyle C_n^m=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}\)

广义二项式定理(a 不一定是整数)

\(\displaystyle (1+x)^a=\sum_{i=0}^{\infty}C_a^ix^i\)

关于二项式的恒等式

\(C_n^m=C_n^{n-m}\)

多项式求导

\(\displaystyle (x^a)'=ax^{a-1}\)

多项式积分

\(\displaystyle \int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\)

一般生成函数(OGF)(转载 铃悬)
\[ \displaystyle \sum_{n\geq0}[n=m]x^n=x^m\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}x^n=\frac{1}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}(-1)^{n}x^n=\frac{1}{1+x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}^mx^n=\frac{1-x^{m+1}}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq m}x^m=\frac{x^m}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}c^nx^n=\frac{1}{1-cx}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}nx^n=\frac{1}{(1-x)^2}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}C_{n+k-1}^{n}x^n=\frac{1}{(1-x)^k}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}x^{nk}=\frac{1}{1-x^k}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{x^n}{n!}=e^{x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{c^nx^n}{n!}=e^{cx}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=ln(1+x)\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{kn}=ln(1+x^k)\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{1}{n}x^n=ln\frac{1}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{1}{n}x^{kn}=ln\frac{1}{1-x^k} \]
前缀和 生成函数乘上\(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}x^i=(1-x)^{-1}\)

差分 生成函数乘上\((1-x)\)

指数生成函数(EGF)