芒砀山的神秘数字

DP + 组合数学

首先，我们很容易的发现，如果数量是大于M的部分，是可以直接用组合数学来求解的，但是呢，前导0的情况，我们是要减去的。
再看，剩下就是相等的部分了，我们可以写列写一个 暴力DP来看。不难发现，每个点的值都是与之前的dp[1~i][j-1]相关联，但是，我们1～i可以通过01背包的方式来做到降维，使得最后的复杂度变成 的。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
inline ll fast_mi(ll a, ll b = mod - 2)
{
    ll sum = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) sum = sum * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return sum;
}
int N, M;
ll jk[3005], ans, dp[3005], cp[3005];
char A[3005], B[3005];
inline void pre_jk()
{
    jk[0] = jk[1] = 1;
    for(int i=2; i<=3000; i++) jk[i] = jk[i - 1] * i % mod;
}
ll Calc(int a, int b) { return jk[a] * fast_mi(jk[a - b]) % mod * fast_mi(jk[b]) % mod; }
inline void init()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(cp, 0, sizeof(cp));
}
int main()
{
    pre_jk();
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d", &N, &M);
        scanf("%s", A + 1);
        scanf("%s", B + 1);
        ans = 0;
        for(int i=M + 1; i<=N; i++) ans = (ans + Calc(N, i)) % mod;
        if(N >= M)
        {
            init();
            dp[0] = 0; cp[0] = 1;
            for(int i=1; i<=N; i++)
            {
                for(int j=min(i, M); j>=1; j--)
                {
                    if(A[i] > B[j])
                    {
                        dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1] + cp[j - 1]) % mod;
                    }
                    else if(A[i] == B[j])
                    {
                        cp[j] = (cp[j] + cp[j - 1]) % mod;
                        dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1]) % mod;
                    }
                    else
                    {
                        dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1]) % mod;
                    }
                }
            }
            ans = (ans + dp[M]) % mod;
        }
        for(int i=1; i<=(N - M); i++)
        {
            if(A[i] ^ '0') continue;
            for(int j=M; j<=(N - i); j++) ans = (ans - Calc(N - i, j) + mod) % mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}