牛客小白月赛20 C 关于球相交的表面积和体积并
什么是球冠和球缺
如上图，是一个以 点为球心，
为半径，截去下半部分的球冠，它的表面积和体积公式如下：
如果我们可以得到 和
的值，那么我们就可以知道这个球缺的表面积和体积，所以对于球相交的表面积和体积这类问题，只要求出
，基本上就做完啦。
我们已知两个球的球心和半径，需要求两个球的表面积并/体积。
显然两个球相交的相交部分是两个球缺，所以我们只需要求出这两个球的球缺的表面积/体积，就可以算出答案，要求出球缺的表面积/体积，并且已知球的半径 ，显然只需要求出球缺的高
就可以了。
下面我以求 球 的高
为例，先求出圆心之间的距离
，已知
，由
和余弦定理，可以求出
的值，然后由直角三角形
可以求出线段
的长度
，最后
。
然后用两个球的总表面积/体积 减去 两个球缺的总表面积/体积 就可以得到答案了。
注意，一般这样的题目要先判断两个球的关系是 内含、相交，还是外离。若内含或外离，直接输出答案即可。
牛客小白月赛20 C
球的表面积并
Code：
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);
struct point
{
double x;
double y;
double z;
};
struct circle
{
point o;
double r;
} a, b;
double getlen(point a, point b)
{
double ans = sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y) + (a.z - b.z) * (a.z - b.z));
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lf%lf%lf%lf", &a.o.x, &a.o.y, &a.o.z, &a.r);
scanf("%lf%lf%lf%lf", &b.o.x, &b.o.y, &b.o.z, &b.r);
assert(-100000 <= a.o.x && a.o.x <= 100000);
assert(-100000 <= a.o.y && a.o.y <= 100000);
assert(-100000 <= a.o.z && a.o.z <= 100000);
assert(0 < a.r && a.r <= 100000);
assert(-100000 <= b.o.x && b.o.x <= 100000);
assert(-100000 <= b.o.y && b.o.y <= 100000);
assert(-100000 <= b.o.z && b.o.z <= 100000);
assert(0 < b.r && b.r <= 100000);
if (a.r > b.r)
swap(a, b);
double dis = getlen(a.o, b.o);
if (dis + a.r <= b.r)
{
double r = max(a.r, b.r);
double ans = 4 * PI * r * r;
printf("%.6lf", ans);
}
else if (dis < a.r + b.r && dis + a.r > b.r)
{
double angle_cosa = (a.r * a.r + dis * dis - b.r * b.r) / (2 * a.r * dis);
double angle_cosb = (b.r * b.r + dis * dis - a.r * a.r) / (2 * b.r * dis);
double len_a = a.r - a.r * angle_cosa;
double len_b = b.r - b.r * angle_cosb;
double ans = 4 * PI * (a.r * a.r + b.r * b.r);
ans -= 2 * PI * (a.r * len_a + b.r * len_b);
printf("%.6lf", ans);
}
else
{
double ans = 4 * PI * (a.r * a.r + b.r * b.r);
printf("%.6lf", ans);
}
} Wannafly winter camp 2019 day2 H
球的体积并
code:
#include <bits/stdc++.h>
const double PI = acos(-1.0);
using namespace std;
struct node
{
double x;
double y;
double z;
double r;
}que[105], o;
double calc(node o, node t)
{
if&nbs***bsp;< t.r)
swap(o, t);
double dis = sqrt((o.x - t.x)*(o.x - t.x) + (o.y - t.y)*(o.y - t.y) + (o.z - t.z)*(o.z - t.z));
if (dis <=&nbs***bsp;- t.r)
{
return 4.0 / 3 * PI * t.r * t.r * t.r;
}
else if (dis <= o.r)
{
double angleb = acos((t.r*t.r + dis * dis - o.r*o.r) / (2 * t.r * dis));
double anglea = PI - angleb;
double l = t.r*cos(anglea);
double H =&nbs***bsp;- l - dis;
double h = t.r - l;
return 4.0 / 3 * PI * t.r * t.r * t.r - PI / 3 * (3 * t.r - h)*h*h + PI / 3 * (3 *&nbs***bsp;- H)*H*H;
}
else if (dis <&nbs***bsp;+ t.r)
{
double angler = acos((t.r*t.r + dis * dis - o.r*o.r) / (2 * t.r * dis));
double angleR = acos((o.r*o.r + dis * dis - t.r*t.r) / (2 *&nbs***bsp;* dis));
double H =&nbs***bsp;-&nbs***bsp;* cos(angleR);
double h = t.r - t.r * cos(angler);
return PI / 3 * (3 * t.r - h)*h*h + PI / 3 * (3 *&nbs***bsp;- H)*H*H;
}
return 0;
}
int main()
{
int t, n, cas = 1;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++)
scanf("%lf%lf%lf%lf", &que[i].x, &que[i].y, &que[i].z, &que[i].r);
scanf("%lf%lf%lf%lf", &o.x, &o.y, &o.z, &o.r);
double ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
ans += calc(o, que[i]);
printf("Case #%d: %.6lf\n", cas++, ans);
}
} 
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