[题目] 4座塔的Hanoi

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经典递推题。

解出 n (1<=n<=12) 个盘子 \(4\) 座塔的Hanoi（汉诺塔）问题最少需多少步？（1到12每个答案分别占一行）

题解

在原Hanoi问题中 \(d[i]\) 表示 3座塔下 \(i\) 个盘子的最小步数。如果你还没有忘记的话：

\[d[i]=d[i-1]*2+1\]

这个式子还是很显然的。

我们设 \(f[i]\) 表示 4座塔下 \(i\) 个盘子的最小步数。 那么有：

\[f[i]=\text{min}\{f[j]*2+d[i-j]\}(1<=j<=i)\]

那我们来仔细康康这个式子，\(f[j]\) 指将 \(j\) 个盘子放在 \(B\) 塔上，剩下的盘子采用 3座塔全部放在 \(D\) 塔上，再把 \(B\) 塔上的 \(j\) 个盘子放在 \(D\) 塔上。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 15
using namespace std;
int n;
int f[N],d[N];
int main()
{
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    d[1] = f[1] = 1; puts("1");
    for(int i=2;i<=12;++i) {
        d[i] = d[i-1]*2 + 1;
        for(int j=1;j<=i;++j) {
            f[i] = min(f[i],f[j]*2+d[i-j]);
        }
        printf("%d\n",f[i]);
    }
    return 0;
}

理解了之后，我们可以来思考一下 \(n\) 个盘子 \(m\) 座塔的做法。

我们设 \(f[i][j]\) 为 \(i\) 座塔 ，\(j\) 个盘子的最少步数，那么有：

\[f[i][j]=\text{min}\{f[i][k]*2+f[i-1][j-k]\}\]

其实原理是一样的。

睡个好觉吧，晚安！