历届试题 K倍区间

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

数据规模和约定

　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

思路分析

　　既然能作为蓝桥杯省赛最后一题，肯定不可能O(n^2)，所以就要用到前缀和了，讲一下前缀和，它主要是用来在O（1）时间内求出一个序列a中,a[i]+a[i+1]+……+a[j]的和。（a[1]表示第一个元素）原理十分简单：用sum[i]表示（a[1]+a[2]+……+a[i])，其中sum[0]=0，则（a[i]+a[i+1]+……+a[j]）即等于sum[j]-sum[i-1]。
　　我们看一下题目给的例子
　　a : 0 1 2 3 4 5
　下标 : 0 1 2 3 4 5
　　用前缀和来表示
　　a : 0 1 3 6 10 15
　下标 : 0 1 2 3 4 5
　　对k取模
　　a : 0 1 1 0 0 1
　下标 : 0 1 2 3 4 5
　　我们遍历一下最后的a数组
　　a[0]时，前面没有出现0，所以ans+=0，标记0出现了一次，book[0]++，
　　a[1]时，前面没有出现1，所以ans+=0，标记1出现了一次，book[1]++，
　　a[2]时，前面出现了一次1，所以ans+=1，标记1又出现了一次，book[1]++，
　　a[3]时，前面没有出现0，所以ans+=1，标记0又出现过一次了，book[0]++，
　　a[4]时，前面出现了一次0，所以ans+=2，标记0又出现了一次，book[0]++，
　　a[5]时，前面出现了两次1，所以ans+=2，标记1又出现了一次，book[1]++，
　　（这里解释一下为什么前面出现过与此时相同的数字，ans就加上之前出现的次数，举个例子，a[1]=1,a[5]==1，所以，(a[2]+a[3]+a[4]+a[5])%k==0）
　　所以

AC代码

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int book[100000],a[100000];
int main()
{
    int n,k;
    long long int ans=0;
    cin>>n>>k;
    book[0]++;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        a[i]=(a[i-1]+a[i])%k;
        ans+=book[a[i]];
        book[a[i]]++;
    }
    cout<<ans;
}