ecgcd+逆元+中国剩余定理

求解一组解让ax+by=gcd（a,b）;

同余方程

假如我们要求解
a* x三等b%（p）
那么等同于 （ax-b）%p==0;不妨设为y倍
ax+py=b；*-_-!**
就这样好像就可以了。
假如b==1
那么只需要求出一组解
ax+py=1；
同余方程

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct dd {
    int gcd,x1,y1;
    dd(int xx=0,int yy=0,int zz=0):gcd(xx),x1(yy),y1(zz) {}
};
dd exgcd(int x,int y) {
    //if(x<y)swap(x,y);
    if(y==0)return dd(x,1,0);//当b==0的时候，一组解是x==1；
    //因为0是所有数的倍数。
    else {
        dd ans=exgcd(y,x%y);
        //cout<<"x="<<y<<"y="<<x%y<<"x1="<<ans.x1<<"y1="<<ans.y1<<endl;
        int k=x/y;
        return dd(ans.gcd,ans.y1,ans.x1-k*ans.y1);
    }
}
int main() {
    int a,b;
    cin>>a>>b;
//a*x+b*p=1;
//假如说我们已知一组解
//那么a*x1+b*y1=1;
//那么已知a*(x-x1)=b(y1-y);
//那么a/b=(y1-y)/(x-x1);
//所以一组解就是x+上b，y-去a 反向
    int x=exgcd(a,b).x1;
    //cout<<"x="<<x<<"y="<<x<<endl;
    if(x<0) {
        x=-(abs(x)%b);
        while(x<0) {
            x+=b;
        }
    }
    cout<<x<<endl;
    return 0;
}

其实就是让上式中的b=1；

逆元

• 其实就是上面的b==1的情况，非常好求。
• 当p=质数的时候。 x的乘法逆元就是pow（x,p-2）; 使用快速幂即可
• 还有一个乘法逆元

拓展中国剩余定理

假如第一组解x1，y1已经知道。
那么
a1x1+b1=a2x2+b2;
那么
那么对于第一组来说，k*b+a是一组通解

他的通解是b1*k+a1

b1*k+a1=k1*b2+a2;
那么b1x+（-b2）y=（a2-a1）；
求出来一组解，y，那么可以知道他的一组通解是
y2+k*b1；
那么可以同时求出第一组解和第二组解。