2019-11-07 21:13 已编辑西安工业大学 Java

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字符串匹配—KMP算法

KMP算法是一种字符串匹配算法，其关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。最基础的字符串匹配就是每一次匹配，模式串都重头开始，主串后移一位，这样时间复杂度为O(m×n)，而KMP是字符串匹配算法的改进，改进后的时间复杂度可以缩小至O(m+n)。

KMP算法基础版

KMP算法的核心就是求模式串的next数组，简单解释一下，next[i]就是模式串除去第i个字符，从头到第(i-1)个字符前缀与后缀最长重复的个数。
这里要理解一下什么是前缀和后缀，这个概念很重要！在“aba”中，前缀就是“ab”，即除去最后一个字符的剩余字符串；后缀就是"ba"，即除去第一个字符的后面全部的字符串。"aba"的前缀与后缀最长重复的个数就为1。特别要注意的是：

前缀必须要从头开始算，后缀要从最后一个字符开始算，中间截一段相同字符串是不行的！！！！

当字符串匹配时，如下图：
图片说明
当匹配到C和D时，失配了。这个时候，模式串就应该往后移两位，即下图：

图片说明

为什么只往后移两位呢，因为第一位的A和第三位的A匹配了，此时就不需要重复匹配了，这就是KMP的精髓。那怎么知道当主串模式串失配时，模式串往后移几位，也就是重新定位到模式串的第几个字符呢？

以上面的图为例，虽然ABAD失配，但是ABA是匹配的，也就是说主串的ABA与模式串的ABA完全匹配，除去当前的完全匹配，把模式串的ABA往后拖，两个ABA的最大重复子字符个数。这就相当于主串是后缀，模式串是前缀，找出前缀与后缀最大的重复字符个数，在上图中，ABA的前缀与后缀最大重复个数为1，即模式串重新定位到1的位置（因为字符串从0开始，所以这里就省去了+1），让B和C开始比较。所以模式串到i位失配时，下一个移动点就是模式串(0…i-1)位的前缀与后缀最大重复字符个数。

KMP算法基础版代码

public int[] getNext(String ps) {
    char[] p = ps.toCharArray(); // 模式串
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;// 初始化
    int j = 0; // 当前位置
    int k = -1; // 要返回的位置
    while (j < p.length - 1) {
        if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
            // 当P[k] == P[j]时， 有next[j+1] == next[j] + 1
            next[++j] = ++k;
        } else {
            k = next[k];
        }
    }
    return next;
}

public int KMP(String ts, String ps) {
    char[] t = ts.toCharArray(); // 主串
    char[] p = ps.toCharArray(); // 模式串
    int i = 0; // 主串的位置
    int j = 0; // 模式串的位置
    // next[j]的值表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。
    int[] next = getNext(ps);

    while (i < t.length && j < p.length) {
        if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，移动i的同时j也要归0
            i++;
            j++;
        } else
            j = next[j]; // j回到指定位置
    }
    // 返回模式串在主串中开始匹配的头位置
    if (j == p.length) {
        return i - j;
    } else {
        return -1;
    }
}

如何理解getNext中的k = next[k] ?

函数getNext(ps)就是算出next数组，next[i]就是模式串(0…i-1)位的前缀与后缀最大重复字符个数。这个就相当于模式串自己与自己匹配！注意要初始化next[0]=-1，也就是将模式串1作为主串，模式串2作为模式串开始匹配。模式串1的后缀与模式串2的前缀的最大重复字符个数，当模式串1遍历到k与模式串2遍历到j不匹配时，模式串2要重新定位，所以开始找模式串2即[0…k-1]中的前缀与后缀最大重复字符个数，此时要知道，下面是重点！！
模式串2的[0…k-1] 不仅与模式串1的[j-k,j-1]是一样的，与模式串1的[0…k-1]也是一样的！！！（有点废话，因为模式串1和2本来就是同一个字符串，只不过错位了。）模式串1的[0…k-1]的前缀与后缀最大重复字符个数为next[k]，而模式串2当前要移位，也就是当前的k=模式串2的[0…k-1]的前缀与后缀最大重复字符个数，模式串1=模式串2，所以 k = next[k]！

KMP算法改进版

下面的图摘自详解KMP算法，这篇博客讲的挺详细，对KMP不了解的可以重头看一遍。

上面的程序是没有问题的，但不够好！
如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了，我们为什么能知道主串前面只有一个A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i可以不动，我们只需要移动j即可，如下图：

图片说明

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。
大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”

所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？

接下来我们自己来发现j的移动规律：
图片说明
如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

如下图也是一样的情况：

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：
图片说明
至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

$P[0 \sim k-1] == P[j-k \sim j-1]$

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：
图片说明
弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

因为:

当T[i] != P[j]时

有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]*

由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。

public static int[] getNext(String ps) {

    char[] p = ps.toCharArray();

    int[] next = new int[p.length];

    next[0] = -1;

    int j = 0;

    int k = -1;

    while (j < p.length - 1) {

       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {

           next[++j] = ++k;

       } else {

           k = next[k];

       }

    }

    return next;
}

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？

好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。

先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？
图片说明
像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。

如果是当j为1的时候呢？
图片说明
请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

当P[k] == P[j]时，

有next[j+1] == next[j] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。
即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

那如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：

图片说明
像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

图片说明

现在你应该知道为什么要k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]啦。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

public static int KMP(String ts, String ps) {

    char[] t = ts.toCharArray();

    char[] p = ps.toCharArray();

    int i = 0; // 主串的位置

    int j = 0; // 模式串的位置

    int[] next = getNext(ps);

    while (i < t.length && j < p.length) {

       if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0

           i++;

           j++;

       } else {

           // i不需要回溯了

           // i = i - j + 1;

           j = next[j]; // j回到指定位置

       }

    }

    if (j == p.length) {

       return i - j;

    } else {

       return -1;

    }
}

和暴力破解相比，就改动了4个地方。其中最主要的一点就是，i不需要回溯了。

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

图片说明

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

图片说明

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

显然，发生问题的原因在于P[j] == P[next[j]]。

上面这个现象最主要的原因就是 P[j] == P[next[j]]。也就是p[j]失配时，下一步会跳到j = next[j]，而p[next[j]]的值与p[j]的值一模一样，就像上图中B跳到了B。如何避免这个问题呢，需要将getNext中的核心代码给改一下，如下图：
图片说明

一开始看这个代码比较难理解，可以分解下来看。最核心的更改就是，左边的next[++j] = ++k 变成了一个if…else…判断。而右图中的else其实算法内容和next[++j] = ++k是一样的，也就是，右边多了一个 if (p[++j] == p[++k]) {next[j] = next[k]; }。最主要的是理解这句代码，结合下图更易理解。
图片说明

当连续两个(便于理解，假设为两个，实际上两个及两个以上)p[k]与p[j]匹配时，会形成上图所画的样子，如果模式串1作为模式串与主串匹配，若匹配到位置3的时候失配了，它下一步会跳到位置1继续比较开始匹配（怎么跳的看上面基础版的）。但现在我们是要他跳到位置0，重头开始匹配（跳到位置1没意义）。

接下来，用代码中的k和j重新叙述一遍上面的话！！！！！！！！！！
如果模式串1作为模式串与主串匹配，若匹配到位置 j+1 的时候失配了，它下一步会跳到位置 k+1 继续比较开始匹配（即 next[++j] = ++k;也就是右图中的next[j] = k;）（怎么跳的看上面基础版的）。但现在我们是要他跳到位置k，重头开始匹配（跳到位置k+1没意义）。

下面一段话是理解的精髓！！！！！！！！！
因为k+1这个位置匹配了的结果依旧是失配，所以就算跳到了k+1，依旧还要往前跳，所以直接提取从k+1往前跳的值，即next[k+1]，所以当前j+1失配时位置跳的过程可以理解为：

j+1 —> k+1 —> next[k+1]

所以next[j+1]保存的值为next[k+1]，在代码中为next[j] = next[k]，因为上面一行的判断中++了。

KMP算法改进版代码

public int[] getNext(String ps) {
    char[] p = ps.toCharArray(); // 模式串
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;// 初始化
    int j = 0; // 当前位置
    int k = -1; // 要返回的位置
    while (j < p.length - 1) {
        if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
            if (p[++j] == p[++k]) {
                // 当两个字符相等时要跳过
                next[j] = next[k];
            } else {
                next[j] = k;
            }
        } else {
            k = next[k];
        }
    }
    return next;
}