洛谷 P1226 【模板】快速幂||取余运算

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1226

题目描述

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。

输入输出格式

输入格式：

三个整数b,p,k.

输出格式：

输出“b^p mod k=s”

s为运算结果

输入输出样例

输入样例#1：

2 10 9

输出样例#1：

2^10 mod 9=7

这道题有各种各样的做法，来整理一下几种思路吧

做法1（来自一本通）

思路

1.本题主要的难点在于数据规模很大（b，p都是长整型数），对于\(b^p\)显然不能死算，那样的话时间复杂度和编程复杂度都很大。

2.下面先介绍一个原理：A*B%K = (A%K )*(B% K )%K。显然有了这个原理，就可以把较大的幂分解成较小的，因而免去高精度计算等复杂过程。那么怎样分解最有效呢？

3.显然对于任何一个自然数P，有P=2 * P/2 + P%2，如19=2 * 19/2 + 19%2=2*9+1，利用上述原理就可以把B的19次方除以K的余数转换为求B的9次方除以K的余数，即B19=B2*9+1=B*B9*B9，再进一步分解下去就不难求得整个问题的解。

(额外提一点，最后输出的时候也不要忘记再取模一下，因为没取模我WA了一个点)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long b,p,k,a;

long long f(long long p){
    if(p==0)return 1;
    long long tmp=f(p/2)%k;
    tmp=(tmp*tmp)%k;
    if(p%2==1)tmp=(tmp*b)%k;
    return tmp;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k);
    long long tmpb=b;
    b%=k;
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",tmpb,p,k,f(p)%k);
    return 0;
}

做法二

思路

首先要知道，余数是有规律的，除以任何数都是这样
拿样例来说吧，

b=2,p=10,k=9
2^1=2 2%9=2
2^2=4 4%9=4
2^3=8 8%9=8
2^4=16 16%9=7
2^5=32 32%9=5
2^6=64 64%9=1
2^7=128 128%9=2

我们会发现，余数到2^7的时候就已经跟2^1重复了每一个数都是一样的

将重复的次数算出，最后在重算一次，就可以找到答案

注意：

1.不能用数组存余数，空间承受不起

2.一边乘一边除，否则会死得很惨

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long long b,p,k,s,t;
int main()
{
    cin>>b>>p>>k;
    cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"=";
    s=b%k;
    t=1;
    for (int i=2;i<=p;i++)
    {
        s=s*b%k;
        if (s==b%k) break;
        t++;
    }
    p=p%t;s=1;
    if (p==0) p=t;
    for (int i=1;i<=p;i++)
    s=s*b%k;
    cout<<s;
    return 0;
}

（来自洛谷）

做法三

思路

直接使用常规的快速幂算法

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int power(int b,int p,int k);
int b,p,k;

signed main() {
    cin>>b>>p>>k;
    int www=p;
    cout<<b<<"^"<<www<<" mod "<<k<<"="<<power(b,p,k)%k;
}

int power(int b,int p,int k) {
    int ans=1;
    b%=k;
    while(p) {
        if(p&1)
            ans=(ans*b)%k;
        p>>=1;
        b=(b*b)%k;
    }
    return ans;
}