牛客练习赛51 勾股定理 题解

题意分析

给出a，求任意直角三角形边长b，c。

解题思路

• 如果读入的边是0，或者1，或者2，易证这条边不能找到另外2个整数直角边了。直接-1。

• 判断3边能组成直角三角形的方法是勾股定理，所以要用这个勾股定理找出合适的b、c。

• ，因为我们只需要输出1组解，我们可以假设a肯定不是斜边。只知道a，怎么找出b跟c的关系？设c>b

• 由于我们这里的c+b不太好入手，于是考虑从“c-b”入手。

• 把两边同时（前面说了c>b），得到

• 由于右边的c+b是整数，所以我们一定要保证是正整数。

  1. 当c-b=1

  • 则一定是正整数，而且c=b+1。
  • 原式右边的c+b可以化为
  • 。
  • 易证右边那个2b+1肯定是奇数,
  • 在我们这个已经设置了的前提下，，则一定是奇数，并且易证也一定是奇数。
  • 把b用带a的式子表示，得到：
  • 同理，
    • 上面我们设了一个条件，让c-b=1的时候，必有①a为奇数，②存在一组合法解b=……,c=……。
    • 现在直接去掉c-b=1这个大前提，当a为奇数，代入到上面的式子里面计算，可以发现b、c均为正整数而且一定是“一个奇数一个偶数”。
    • 所以当a为奇数的时候肯定存在合法解。b和c的计算公式就是上面那个了。

  2. 当(c-b)%2=0

  • 刚才讨论了c-b=1，就是想方设法让(c-b)%2=1。
  • 现在先来试试(c-b)%2=0能不能像刚刚证明奇数一样，把偶数证明出来。
  • 直接设c-b=2，则原式可化为
  • c=b+2，则上面那条可化为，易证右边那个肯定是偶数。则一定是4的倍数。
  • 此时，用带a的式子表示b，得到
  • 同样的，，。
  • 所以当a是偶数的时候，存在一组解，b、c的计算公式如下。

• 这两个小标题考验式的变形能力，你也可以变形为其他形式，但是要想到怎么变形确实是难。

参考程序

#include<stdio.h>
long long a,b,c;
int main()
{
    scanf("%lld",&a);
    if(a==0||a==1||a==2)
        {
            printf("-1");
            return 0;
        }
    if(a%2==1)
        {
            b=(a*a-1)/2;
            c=b+1;
        }
    if(a%2==0)
        {
            b=((a*a)/2-2)/2;
            c=b+2;
        }
    printf("%lld %lld",b,c);
    return 0;
}