矩阵快速幂

矩阵优化可以经常利用在递推式中。

首先了解一下矩阵乘法的法则。

(\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}) (\times) (\begin{bmatrix}e&f\g&h\end{bmatrix}) (=) (\begin{bmatrix} a \times e + b \times g & a \times f + b \times h \ c \times e + d \times g & c \times f + d \times h \end{bmatrix})

这就貌似非常简单了。

看一个例题，斐波那契数列不同于一般的斐波那契数列，(n)在(long) (long)之内，所以(O(n))绝对会超时，这是需要矩阵快速幂，复杂度是(O(3^3logn)) (=) (O(27log n))，忽略常数，那么复杂度就是(O(logn))

我们定义一个矩阵等式，然后去求问号矩阵

(\begin{bmatrix} f[i+1] & f[i]\end{bmatrix}) (\times) (\begin{bmatrix}? \end{bmatrix}) (=) (\begin{bmatrix}f[i+2] & f[i+1] \end{bmatrix})

(f[i+2] = f[i] + f[i+1])

构造的(?)号矩阵就是

(\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0\end{bmatrix})

带回检验

(\begin{bmatrix}f[i+1] & f[i] \ 0 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f[i+1] \times 1 + f[i] \times 1 & f[i+1] \times 1 + f[i] \times 0 \ 0 \times 1 + 0 \times 1 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{bmatrix})

上式化简为

(\begin{bmatrix}f[i+2] & f[i+1] \ 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f[i+2] & f[i+1]\end{bmatrix})

所以成立.

矩阵快速幂模板代码就是

struct Mat {
    int a[3][3];
    Mat() {memset(a,0,sizeof a);}
    inline void build() {
        memset(a,0,sizeof a);
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i) a[i][i]=1;
    }
};
Mat operator*(Mat &a,Mat &b)
{
    Mat c;
    for(re int k = 1 ; k <= 2 ; ++ k)
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i)
            for(re int j = 1 ; j <= 2 ; ++ j)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
    return c; 
}
Mat quick_Mat(int x)
{
    Mat ans;ans.build();
    while(x) {
        if((x&1)==1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        x >>= 1;
    }
    return ans;
}

例题代码是

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define re register
#define Max 200000012
#define int long long
int n;
const int mod=1000000007;
struct Mat {
    int a[3][3];
    Mat() {memset(a,0,sizeof a);}
    inline void build() {
        memset(a,0,sizeof a);
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i) a[i][i]=1;
    }
};
Mat operator*(Mat &a,Mat &b)
{
    Mat c;
    for(re int k = 1 ; k <= 2 ; ++ k)
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i)
            for(re int j = 1 ; j <= 2 ; ++ j)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
    return c; 
}
Mat a;
Mat quick_Mat(int x)
{
    Mat ans;ans.build();
    while(x) {
        if((x&1)==1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        x >>= 1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    a.a[1][1]=1;a.a[1][2]=1;
    a.a[2][1]=1;Mat b;
    b.a[1][1]=1;b.a[2][1]=1;
    if(n>=1 && n<=2) {
        printf("1");return 0;
    }
    Mat ans=quick_Mat(n-2);
    ans=ans*b;
    printf("%lld",ans.a[1][1]);
    return 0;
}