洛谷P2624 [HNOI2008]明明的烦恼（Prufer序列+组合数学）

**题目：**给你n个节点的树中某些节点的度数，其他节点的度数任意，问有多少种满足题意的树。

思路：

​ 假设给出n个节点的K个节点度数确定，且分别为 $d_1,d_2,d_3...d_k$d1​,d2​,d3​...dk​​。我们令 $a_i=d_i-1$ai​=di​−1, 且设 $sum={\sum }_{i=1}^k{a}_i$sum=∑i=1k​ai​​。

那么有 $ans=C\left(\frac{a_1}{n-2}\right)\ast C\left(\frac{a_2}{n-2-a_1}\right)\ast ...C\left(\frac{a_k}{n-2-a_1-a_2..-a_{k-1}}\right)=\frac{(n-2)!}{(n-2-sum)!\ast {\Pi }_{i=1}^k{a}_i!}\ast (n-k{)}^{(n-2-sum)}$ans=C(n−2a1​​)∗C(n−2−a1​a2​​)∗...C(n−2−a1​−a2​..−ak−1​ak​​)=(n−2−sum)!∗Πi=1k​ai​!(n−2)!​∗(n−k)(n−2−sum)

代码：

def quick_pow(a,b):
    ans=1
    while b>0:
        if (b&1)>0 :
            ans*=a
        a*=a
        b>>=1
    return ans
def init(n):
    fac = [0 for i in range(n + 1)]
    fac[0]=1
    for i in range(1,n+1):
        fac[i]=fac[i-1]*i
    return fac
if __name__ == '__main__':
    # a,b=[int(i) for i in (input().split())]
    # print(a,b)
    # print(quick_pow(a,b))
    n=int(input())
    du=[]
    for i in range(n):
        x=int(input())
        du.append(x)
    if n==1:
        if du[0]>0:
            print(0)
        else:
            print(1)
        exit()
    sum=0
    for i in du:
        if i==0:
            print(0)
            exit()
        if i==-1:
            continue
        sum+=i-1
    if sum>n-2:
        print(0)
        exit()
    #此时n>=2且du[]>1,且sum<=n-2
    fac=init(n)
    ans=fac[n-2]//fac[n-2-sum]
    k=0
    for i in du:
        if i==-1:
            continue
        ans//=fac[i-1]
        k+=1
    ans*=quick_pow(n-k,n-2-sum)
    print(int(ans))