《信息学奥赛一本通 提高篇》题解 有趣的数列

很好的一道思维题。警告：文字较多，没有耐心者勿入。

首先我们命名为奇数位，其余为偶数位。观察题目条件：奇数位与偶数位上的数字都满足从左到右递增，相邻的满足。

首先很容易发现，一个偶数位上的数，比它左边的所有偶数位上的数要大，每个偶数位上的数又比它左相邻奇数位上的数要大。这两条信息，我们可以得出，一个偶数位上的数比它左边所有数都要大，那么再概括一下，就是一个偶数位上的数，大于等于这个偶数位的下标。

这个结论并不够我们来得出最后的答案，我们还需要一些结论。

因为数字从左到右，无论奇数位偶数位都满足递增，那么，我们考虑假如我们按的顺序一个一个放数字，我们应该放在哪里？

很容易发现，我们应该放在最靠左的能放的奇数位或者偶数位上，这样才能保证满足递增。

那还有什么限制呢？我们设已经放了的数，个放在了奇数位上，个放在了偶数位上。我们想起前面得出的关于偶数位上放数的结论：一个偶数位上的数，大于等于这个偶数位的下标。那什么时候会小于呢？猜想+估摸一下，感觉是？？

猜想是很的，让我们来简单的证一下。

反证：

假设当前情况为，那么显然，同时最后一个偶数位的下标是。

因为我们总共只有个数，但由我们得知，，所以最后一个偶数位不管放什么，都不满足条件，假设不成立。

所以得出结论，按从小到大的顺序放到任意一个数，都满足放在偶数位上的数字个数小于等于放在奇数位上的数字个数。

想到什么？This

这不是完全一样的卡特兰数吗？但这道题好像更麻烦一点，模数不是质数。那么就需要一些求卡特兰数的技巧，参考别的题解即可，几乎都讲了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ts cout<<"ok"<<endl
#define oo (1e18)
#define int long long
#define LL unsigned long long
#define hh puts("")
using namespace std;
int n,mo,cnt[2000005],pr[2000005],mn[2000005],top,ans=1;
bool v[2000005];
inline int read(){
    int ret=0,ff=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') ff=-ff;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){ret=(ret<<3)+(ret<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return ret*ff;
}
inline int ksm(int x,int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%mo;
        y>>=1;
        x=x*x%mo;
    }
    return res;
}
signed main(){
    n=read(),mo=read();
    memset(v,1,sizeof(v));
    v[1]=0;
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(v[i]){
            pr[++top]=i;
            mn[i]=i;
        }
        for(int j=1;j<=top&&pr[j]*i<=2*n;j++){
            v[pr[j]*i]=0;
            mn[pr[j]*i]=pr[j];
            if(i%pr[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]=-1;
    for(int i=n+2;i<=2*n;i++) cnt[i]=1;
    for(int i=2*n;i>=2;i--){
        if(mn[i]<i){
            cnt[mn[i]]+=cnt[i];
            cnt[i/mn[i]]+=cnt[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=2*n;i++)
        if(mn[i]==i)
            ans=ans*ksm(i,cnt[i])%mo;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}