数论出题组比赛用题：传球游戏

T1:传球游戏

思考难度：提高?

代码难度：提高?

正解：矩阵快速幂

若令 $f\left[i\right]\left[j\right]$f[i][j]为第 $i$i次传传到第 $j$j个人的方案数，易知 $f\left[i\right]\left[j\right]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]$f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−1][j+1]

但是直接这样递推 $O\left(nm\right)$O(nm)会 $TLE$TLE，于是想到用矩阵来加速递推。

可知初始矩阵中 $ans\left[i\right]\left[i\right]=1$ans[i][i]=1，递推矩阵中 $a\left[0\right][n-1]=a[n-1]\left[0\right]=1$a[0][n−1]=a[n−1][0]=1 $a\left[i\right][i+1]=a\left[i\right][i-1]=1$a[i][i+1]=a[i][i−1]=1。进行快速幂即可，时间复杂度 O(n3×logm)，时间、空间都不允许。

但是，我们通过观察发现，无论何时，矩阵都是循环的，即
$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_n& a_1& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2& a_3& a_4& \cdots & a_1\end{array}\right)$A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​a1​an​an−1​⋮a2​​a2​a1​an​⋮a3​​a3​a2​a1​⋮a4​​⋯⋯⋯⋯​an​an−1​an−2​⋮a1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

我们利用此性质。乘出矩阵的一行来，直接将其他的复制好，时间复杂度 O(n2×logm)，时间复杂度符合要求，但空间超了。

于是我们将矩阵缩为一维，利用循环的性质来求值即可，空间复杂度将为 $O\left(n\right)$O(n)，理论上可以通过本题，但还是TLE。(18.19点2500ms+)

再来观察矩阵，发现第一行是

a1​a2​a3​⋯a⌊2n+1​⌋−1​a⌊2n+1​⌋​a⌊2n+1​⌋−1​⋯a3​a2​

(偶数自行脑补)

即对称，所以可以优化一半常数。

但还是TLE。。。(18.19点1500ms+)

我们继续优化，发现矩阵相乘时，若有0，直接跳过，又优化了一点。(18.19点950~1100ms)

考虑观察一行，发现计算每一个的时候有重复计算的，我们发现可以用左面对称和右面对称来计算，还要考虑n为奇数偶数情况，及i为奇数偶数情况，可优化一半常数(理论上)。

于是就可以700ms通过本题了。(无 O2​O3​)