leetcode：寻找两个有序数组的中位数
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3] nums2 = [2] 则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4] 则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
算法:
为了解决这个问题，我们需要理解 “中位数的作用是什么”。在统计中，中位数被用来：
将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
这其中又分为偶数组和奇数组：
奇数组:[2 3 5] 对应的中位数为3
偶数组: [1 4 7 9] 对应的中位数为(4 + 7) /2 = 5.5
先解释下“割”
我们通过切一刀，能够把有序数组分成左右两个部分，切的那一刀就被称为割(Cut)，割(Cut)的左右会有两个元素，分别是左边最大值和右边最小值。
我们定义LMax= Max(LeftPart)，RMin = Min(RightPart)。
割可以割在两个数中间，也可以割在1个数上，如果割在一个数上，那么这个数即属于左边，也属于右边
奇数组:[2 3 5] 对应的中位数为3，假定割(Cut)在3上，我们可以把3分为2个：[2 （3/3) 5]
因此LMax=3, RMin=3
偶数组: [1 4 7 9] 对应的中位数为(4 + 7) /2 = 5.5,假定割(Cut)在4和7之间：[1 （4/7) 9]
因此LMax=4, RMin=7
割和第k个元素
一个数组
对于一个有序数组，对于数组A,如果在k的位置割(Cut)一下（不是割(Cut)在两数中间），那么LMax = RMin = A[k],
两个数组
也就是我们题目的状态，我们要求得两个数组合并成一个有序数组时，第k位的元素
我们设: Ci为第i个数组的割。
LMaxi为第i个数组割后的左元素.
RMini为第i个数组割后的右元素。
首先，LMax1<=RMin1，LMax2<=RMin2 这是肯定的，因为数组是有序的，左边肯定小于右边!，而如果割(Cut)在某个数上，则左右相等。
其次，如果我们让LMax1<=RMin2，LMax2<=RMin1 呢
那么如果左半边全小于右半边，如果左边的元素个数相加刚好等于k, 那么第k个元素就是Max(LMax1, LMax2)，这个比较好理解的，因为Max(LMax1, LMax2)肯定是左边k个元素的最大值，因为合并后的数组是有序，第k个元素肯定前面k个元素中最大的那个。
那么如果 LMax1>RMin2，说明数组1的左边元素太大（多），我们把C1减小，C2=k-C1也就相应的增大。LMax2>RMin1同理，把C2减小，C1=k-C2也就相应的增大。
假设k=3
对于
[2 3 5]
[1 4 7 9]
设C1 = 1, 那么C2 = k - C1 = 2
[2 / 3 5]
[1 4 / 7 9]
这时LMax1 =2, RMin1 = 3, LMax2=4, RMin2=7,
从而有LMax2 > RMin1,依据前面的推论，我们要将C1增大，所以我们让C1 = 2，如下：
[2 3 /5]
[1 / 4 7 9]
这时LMax1 =3, RMin1 = 5, LMax2=1, RMin2=4, 满足 LMax1 < RMin2 且 LMax2 < RMin1, 所以第3个元素为Max(LMax1,LMax2) = 3
两个数组的最大问题是，它们合并后，m+n总数可能为奇, 也可能为偶，所以我们得想法让m+n总是为偶数
通过虚拟加入‘#’，我们让m转换成2m+1 ，n转换成2n+1, 两数之和就变成了2m+2n+2，恒为偶数。
注意是虚拟加，其实根本没这一步，通过下面的转换，我们可以保证虚拟加后每个元素跟原来的元素一一对应
这么虚拟加后，每个位置可以通过/2得到原来元素的位置：
比如 2，原来在0位，现在是1位，1/2=0
比如 3，原来在1位，现在是3位，3/2=1
比如 5，原来在2位，现在是5位，5/2=2
比如 9，原来在3位，现在是7位，7/2=3
而对于割(Cut)，如果割在‘#’上等于割在2个元素之间，割在数字上等于把数字划到2个部分，总是有以下成立：
LMaxi = (Ci-1)/2 位置上的元素
RMini = Ci/2 位置上的元素
例如：
割在3上，C = 3，LMax=a[(3-1)/2]=A[1]，RMin=a[3/2] =A[1]，刚好都是3的位置！
割在4/7之间‘#’，C = 4，LMax=A[(4-1)/2]=A[1]=4 ，RMin=A[4/2]=A[2]=7
剩下的事情就好办了，把2个数组看做一个虚拟的数组A，A有2m+2n+2个元素，割在m+n+1处，所以我们只需找到m+n+1位置的元素和m+n+2位置的元素就行了。
左边：A[m+n+1] = Max(LMax1,LMax2)
右边：A[m+n+2] = Min(RMin1,RMin2)
==>Mid = (A[m+n+1]+A[m+n+2])/2 = (Max(LMax1,LMax2) + Min(RMin1,RMin2) )/2
最快的割(Cut)是使用二分法，
有2个数组，我们对哪个做二分呢？ 根据之前的分析，我们知道了，只要C1或C2确定，另外一个也就确定了。这里，为了效率，我们肯定是选长度较短的做二分，假设为C1。
LMax1>RMin2，把C1减小，C2增大。—> C1向左二分
LMax2>RMin1，把C1增大，C2减小。—> C1向右二分
如果C1或C2已经到头了怎么办？
这种情况出现在：如果有个数组完全小于或大于中值。假定n<m, 可能有4种情况：
C1 = 0 —— 数组1整体都在右边了，所以都比中值大，中值在数组2中，简单的说就是数组1割后的左边是空了，所以我们可以假定LMax1 = INT_MIN
C1 =2n —— 数组1整体都在左边了，所以都比中值小，中值在数组2中 ，简单的说就是数组1割后的右边是空了，所以我们可以假定RMin1= INT_MAX，来保证LMax2<RMin1恒成立
C2 = 0—— 数组2整体在右边了，所以都比中值大，中值在数组1中 ，简单的说就是数组2割后的左边是空了，所以我们可以假定LMax2 = INT_MIN
C2 = 2m—— 数组2整体在左边了，所以都比中值小，中值在数组1中, 简单的说就是数组2割后的右边是空了，为了让LMax1 < RMin2恒成立，我们可以假定RMin2 = INT_MAX
题目解答：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int n = nums1.size();
int m = nums2.size();
if (n > m) //保证数组1一定最短
{
return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
}
// Ci 为第i个数组的割,比如C1为2时表示第1个数组只有2个元素。
//LMaxi为第i个数组割后的左元素。RMini为第i个数组割后的右元素。
int LMax1, LMax2, RMin1, RMin2, c1, c2, lo = 0, hi = 2 * n;
//我们目前是虚拟加了'#'所以数组1是2*n长度
while (lo <= hi) //二分
{
c1 = (lo + hi) / 2; //c1是二分的结果
c2 = m + n - c1;
LMax1 = (c1 == 0) ? INT_MIN : nums1[(c1 - 1) / 2];
RMin1 = (c1 == 2 * n) ? INT_MAX : nums1[c1 / 2];
LMax2 = (c2 == 0) ? INT_MIN : nums2[(c2 - 1) / 2];
RMin2 = (c2 == 2 * m) ? INT_MAX : nums2[c2 / 2];
if (LMax1 > RMin2)
hi = c1 - 1;
else if (LMax2 > RMin1)
lo = c1 + 1;
else
break;
}
return (max(LMax1, LMax2) + min(RMin1, RMin2)) / 2.0;
}
};
