问题：用一个算法，实现判断是否会出现如下的有环的单链表

一、floyd

以龟兔赛跑来解释这一算法，寻找单链表中是否含有一个圈。

一、思想：

龟和兔子同时出发，龟走一步，兔子走两步，兔子比龟快，所以兔子一定可以追上龟，就好像在环形跑道中跑的快的运动员会从后面超过跑得慢的运动员。

//头指针给龟和兔，初始化
tortoise = top
hare = top

forever:
	//兔子走两步
     if hare == end :
         return 'No Loop Found'
     hare = hare.next
 
    if hare == end :
         return 'No Loop Found'
     hare = hare.next
     
 	 //乌龟走一步
     tortoise = tortoise.next
     
 	 //龟兔相遇则有环
     if hare == tortoise:
         return 'Loop Found'

二、时间复杂度分析：

令x是出发点到环的起点的距离，y是环的长度。乌龟最多走x+y步，兔子最多2（x+y）步。

下面给出证明：

（1）乌龟只能在环里走一圈

假设：链表的起点距离环的起点x长度，此时的乌龟在环里，距离环的起点y1长度，由题目可知，当龟兔的距离等于y时，龟兔相遇，即龟兔距离差为y。

因为兔子的速度是乌龟的两倍，所以龟兔的差距为x+y1，环的长度为y，故当乌龟走了一圈以后，龟兔之间的差距为x+y>=y。所以在乌龟还没走完一圈，就会产生一个临界点，此时的龟兔恰好相遇，也就是在某一点，x+y1* ==y。

（2）由1的证明结论可知，乌龟最多在环里面走一圈，所走的长度为x+y1*（y1* <y），兔子最多走2（x+y1*），y1* 表示在某一点，龟兔相遇，此时乌龟距离环的起点的距离为y1* 。

二、Brent

一、思想：

龟和兔子同时出发，龟不动，兔子走1步，第二轮，乌龟跳到兔子的位置，兔子走两步，第三轮。。。。第n轮，乌龟跳到兔子的位置，兔子走2^n步。

//初始化，兔和龟都在链表的头部
 turtle = top
 rabbit = top
 
 steps_taken = 0 //兔子每次迭代走了几步
 step_limit = 2 //兔子每次迭代做多可以走几步
 
 forever:
 	 //如果发现兔子到头了，结束循环
     if rabbit == end:
        return 'No Loop Found'
     
     //兔子移动一步
     rabbit = rabbit.next
     steps_taken += 1
     
 	 //兔子和乌龟相遇，则表示有环
     if rabbit == turtle:
         return 'Loop found'
 	 
 	 //兔子这个周期移动的步数到达上限
     if steps_taken == step_limit:
         steps_taken = 0 //steps_taken初始化为0
         step_limit *= 2 //step_limit表示下次迭代的上限翻倍
         // teleport the turtle
         turtle = rabbit //让乌龟跳到兔子的位置上

二、时间复杂度分析：

证明：brent算法中，乌龟最多在环中走一圈。

证明过程类似死于floyd的证明方式，当乌龟在环内部走了y2长度时，兔子距离乌龟为：

乌龟走了：

1+2+4…+ 2^n == x+y2

下一次兔子行走的距离为: 2^(n+1)，又

1+2+4…+ 2^n == 2^(n+1) - 1

所以龟兔距离x+y2+1

综上所述：每一轮迭代，龟走到了x+y2的地方，兔子从x+y2出发，走到2(x+y2)+1处停止，进行下一轮迭代，兔子的速度比乌龟快一倍+1，故在环中，乌龟走到x+y之前，兔子早就与其相遇，临界位置为y2* ，此时乌龟走了x+y2* ，兔子走了x+y2* +y(此时的y == x+y2*+1)。

三、brent算法为什么比floyd算法快

1.当采用floyd算法时，乌龟走x+y1个距离，此时龟兔距离差为x+y1
2.当采用brent算法时，乌龟走x+y2个距离，龟兔差距x+y2+1

当x，y2和y1较大时，迭代过程中，floyd算法要移动指针x+y1* +2(x+y1* )次（乌龟移动指针+兔子移动指针），大约是
O（3*(x+y)）

而brent算法移动2(x+y2*) + n（n轮迭代，每次兔子的指针都要赋值给乌龟），明显时间复杂度上brent算法更有优势而且大约是x+y1* +2(x+y1* )，大约是
O（2*(x+y)）

明显，brent算法时间复杂度低，大约快了1/3，当然，如果加上式子中n（n = log2（x+y））对结果的影响，可能提升不到1/3.