单调队列优化多重背包

我们知道能用单调队列优化的DP问题需要满足：

dp[i] = max / min （f[k]）+ g[i] （k < i && g[i]是与k无关的变量）

多重背包问题多用二进制优化，优化后的复杂度为O（NVΣlogni）。多重背包问题的状态转移也能转化成此状态转移方程，从而利用单调队列优化，优化后的复杂度为O（NV）。

具体思路：

对于第i件物品：

已知体积为we，价值为val，数量为num，可以按照we的余数，将当前的体积分成we组（0，1，…we - 1）。对于任意一组，可以得到转移方程：f[i * we + c] = max（f[k * we + c] + （i - k）* val），k >= i - num，其中c是分组中的任意一个。

令f[i * we + c] = dp[i]，得到dp[i] = max（dp[k] + （i - k）* val）= max（dp[k] - k * val）+ i * val，k >= i - num。

令f[k] = dp[k] - k * val看做是优化函数，那么就可以运用单调队列来优化多重背包了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,V;//物品数量 总体积 
struct node{
	int nu;
	int va;
};
node queue[100];
int head,tail;
int dp[1000];
int main(){
	int we,val,num;//体积 价值 数量
	while(scanf("%d%d",&n,&V)!=EOF){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i = 0;i < n;i++){//物品 
			scanf("%d%d%d",&we,&val,&num);
			num = min(num,V / we);//该物品的最多数量 
			for(int j = 0;j < we;j++){//体积表示的余数 
				head = 1;
				tail = 0;
				for(int t = 0;t <= (V - j) / we;t++){
					int va = dp[t * we + j] - t * val;
					while(head <= tail && val >= queue[tail].va){
						tail--;
					}
					queue[++tail].nu = t;
					queue[tail].va = va;
					while(head <= tail && t - queue[head].nu > num){
						head++;
					}
					dp[t * we + j] = queue[head].va + j * val;
				} 
			}
		}
		printf("%d\n",dp[V]);
	}
	return 0;
}