洛谷 P1083 借教室(二分+差分数组)

Description:

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来 $n$ 天的借教室信息，其中第 $i$ 天学校有 $r_{i}$ 个教室可供租借。共有 $m$ 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 $d_{j}, s_{j}, t_{j}$ ，表示某租借者需要从第 $s_{j}$ 天到第 $t_{j}$ 天租借教室（包括第 $s_{j}$ 天和第 $t_{j}$ 天），每天需要租借 $d_{j}$ 个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 $d_{j}$ 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 $s_{j}$ 天到第 $t_{j}$ 天中有至少一天剩余的教室数量不足 $d_{j}$ 个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

Input:

第一行包含两个正整数 $n, m$ ，表示天数和订单的数量。

第二行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数为 $r_{i}$ ，表示第 $i$ 天可用于租借的教室数量。

接下来有 $m$ 行，每行包含三个正整数 $d_{j}, s_{j}, t_{j}$ ，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 $1$ 开始的整数编号。

对于10%的数据，有 $1 \leq n, m \leq 10$ ；

对于30%的数据，有 $1 \leq n, m \leq 1000$ ；

对于 70%的数据，有 $1 \leq n, m \leq 1 0^{5}$ ；

对于 100%的数据，有 $1 \leq n, m \leq 1 0^{6}, 0 \leq r_{i}, d_{j} \leq 1 0^{9}, 1 \leq s_{j} \leq t_{j} \leq n$ 。

Output:

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 $0$ 。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数 $- 1$ ，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

Sample Input:

4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4

Sample Output:

-1
2

Hint:

第 $1$ 份订单满足后， $4$ 天剩余的教室数分别为 $0, 3, 2, 3$ 。第 $2$ 份订单要求第 $2$ 天到第 $4$ 天每天提供 $3$ 个教室，而第 $3$ 天剩余的教室数为 $2$ ，因此无法满足。分配停止，通知第 $2$ 个申请人修改订单。

题目链接

去打ICPC徐州Regional的时候有一道树上差分+LCA的题目，不会树上差分，从差分数组学起。

中文题目，题意很明确，可以直接从1~m中二分出答案，而二分的判断函数需要用到差分数组维护。

通过差分数组进行O(1)的修改操作，最后O(n)处理判断。

AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6 + 5;

int N, M;
int Ans;
int R[maxn];
int D[maxn], S[maxn], T[maxn];
int Difference[maxn];
int Sum[maxn];

bool Check(int X) {
    memset(Difference, 0, sizeof(Difference));
    for (int i = 1; i <= X; ++i) {
        Difference[S[i]] += D[i];
        Difference[T[i] + 1] -= D[i];
    }
    Sum[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        Sum[i] = Sum[i - 1] + Difference[i];
        if (Sum[i] > R[i]) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    scanf("%d%d", &N, &M);
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        scanf("%d", &R[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= M; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &D[i], &S[i], &T[i]);
    }
    int Left = 1, Right = M;
    Ans = INF;
    while (Left <= Right) {
        int Mid = (Left + Right) >> 1;
        if (Check(Mid)) {
            Left = Mid + 1;
        }
        else {
            Ans = Mid;
            Right = Mid - 1;
        }
    }
    if (Ans == INF) {
        printf("0\n");
    }
    else {
        printf("-1\n%d\n", Ans);
    }
    return 0;
}