RMQ-ST

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干次询问RMQ(i,j)，返回数列A中下标在区间[i,j]中的最小/大值。

本文介绍一种比较高效的ST算法解决这个问题。ST（Sparse Table）算法可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

1）预处理

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

我们把F[i，j]平均分成两段（因为F[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

2)查询

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询1，2，3，4，5，我们可以查询1234和2345）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[1，5]的最大值，k = log2（5 - 1 + 1）= 2，即求max(F[1, 2]，F[5 - 2 ^ 2 + 1, 2])=max(F[1, 2]，F[2, 2])；

   

    

     

      

     
     

      

       void ST(int n) {
      
     
    

     

      

     
     

      

           
       for (
       int i = 
       1; i <= n; i++)
      
     
    

     

      

     
     

      

               dp[i][
       0] = A[i];
      
     
    

     

      

     
     

      

           
       for (
       int j = 
       1; (
       1 << j) <= n; j++) {
      
     
    

     

      

     
     

      

               
       for (
       int i = 
       1; i + (
       1 << j) - 
       1 <= n; i++) {
      
     
    

     

      

     
     

      

                   dp[i][j] = max(dp[i][j - 
       1], dp[i + (
       1 << (j - 
       1))][j - 
       1]);
      
     
    

     

      

     
     

      

               }
      
     
    

     

      

     
     

      

           }
      
     
    

     

      

     
     

      

       }
      
     
    

     

      

     
     

      

       int RMQ(int l, int r) {
      
     
    

     

      

     
     

      

           
       int k = 
       0;
      
     
    

     

      

     
     

      

           
       while ((
       1 << (k + 
       1)) <= r - l + 
       1) k++;
      
     
    

     

      

     
     

      

           
       return max(dp[l][k], dp[r - (
       1 << k) + 
       1][k]);
      
     
    

     

      

     
     

      

       }