ElasticNet回归及机器学习正则化(linear_model.ElasticNetCV)

要想理解ElasticNet回归，正则化是必须要首先知道的，其次是岭回归和Lasso回归，知道了这些，弹性网回归自然也就明白了。

首先来看正则化：

假设我们都知道利用最小二乘法来做线性回归，最小二乘法回归成功的条件是（我得承认以下的所有图都是我盗的）：

即上面这个函数（损失函数，目前也是目标函数）达到最小值，可得到最优的拟合参数（即θ ）。

但是存在这样一种情况，如果我们用来拟合的自变量过多（或者说特征变量过多），而且特征变量之前存在很高的相关关系，比如下面这种情况：

以上两个函数都可以很好的拟合数据，但右边的函数显然有过拟合的嫌疑，为了避免这种情况，有两种方法：1、舍掉x^3和x^4这两个变量（这就是所谓的特征选择，舍弃无用的特征变量。可以人工选择，也可以利用算法来做。但有些时候我们可能并不希望舍弃数据，一方面特征选择有一定的不确定性，另一方面这个过程是比较繁琐的，这种时候我们可以采用第二种方法来解决这一问题。）；2、减小θ 3和θ 4的值（即正则化，保留所有特征变量，但减少变量参数的值）。

要减小θ 3和θ 4的值，我们可以在损失函数的后面加上（1000*θ 3^2+1000*θ 4^2） , ：

如此一来在最小化目标函数时，因为θ 3和θ 4前面乘了1000这样大的数字，导致θ 3和θ 4的值会非常的小，目标达成。

上面我们有选择的让θ 3和θ 4的值变小，实际情况中，我们很难判断哪些特征变量需要正则化，所以一般情况下，我们是对所有的参数都正则化处理：

即目标函数设为J(θ)，其中：

是正则项，lambda为正则参数。需要注意的是，j是从1开始的，这意味着函数的常数项（θ 0）并没有被正则化。所以lambda不能设的太大，否则会导致除了常数项外，所有的参数值都很小，因变量近似等于常数项，出现欠拟合现象。

OK，正则化介绍到此为止，来看看岭回归和Lasso回归：

岭回归的目标函数就是上面介绍的J(θ):

如果矩阵化的话，也写成：

即最小化loss函数+penalty函数，其中β就是θ（懒得编写公式，直接盗的图）

Lasso回归和岭回归的区别在于惩罚项的不同：

Lasso回归的惩罚项用的是绝对值（也称为L1正则化），而不是岭回归中的平方（L2正则化）。

再来看看ElasticNet回归，目标函数为：

也就是岭回归和Lasso回归的组合。

Python实现ElasticNet回归，有 sklearn.linear_model.ElasticNetCV和 sklearn.linear_model.ElasticNet两个函数可供选择，前者可以通过迭代选择最佳的lambda1和lambda2（当然你可以指定一组值），后者需要你指定lambda1和lambda2的值。

因为目标函数的形式是：

  1   / (  2   * n_samples)   *   ||y   - Xw  ||^  2_2  + alpha   * l1_ratio   *   ||w  ||_1  +   0.5   * alpha   * (  1   - l1_ratio)   *   ||w  ||^  2_2 

所以lambda1和lambda2的指定是通过l1_ratio和alpha来完成

附上代码：

[python]view plain copy         
from sklearn import linear_model  
#得到拟合模型，其中x_train,y_train为训练集  
ENSTest = linear_model.ElasticNetCV(alphas=[0.0001, 0.0005, 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10], l1_ratio=[.01, .1, .5, .9, .99],  max_iter=5000).fit(x_train, y_train)  
#利用模型预测，x_test为测试集特征变量  
y_prediction = ENSTest.predict(x_test))  