欧拉定理（数论定理）在 模幂运算中的应用

< 前言 >  

在很多情况下，我们经常会遇到很大的数a和b，求a的b 次幂中的某位数是什么，对于运算，用暴力求解往往会溢出，并且非常麻烦。

而 利用模运算性质和 欧拉定理中的数论定理，则可方便求解超高次幂相关问题。

欧拉定理(数论定理) 内容

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

注： mod为模运算符，在某些地方可表为%

φ(n)为1~n中与n互质的数个数）

具体证明见 https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%AE%9A%E7%90%86/891345?fr=aladdin#2_2

欧拉的递推式为：

具体用法

例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据  模运算规则 a^b % p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。

根据 模运算规则 (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到

3^5555（%10）

=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）

=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

=（（3^(4*1388)（%10）* 7）（%10）。

化到此处即可使用 欧拉定理

对于3^(4*1388)而言，  3^(4*1388) = (3^4)^1388    (3^4)中Φ(n) = 4,即 n = 10（1，3，7，9满足）;

同时 满足 3和10互质，

所以 3^(4*1388)=（1%10）^1388 = 1；

即 根据欧拉定理可以得到 3 ^ (4 * 1388) % 10 = 1,

所以（（3^(4*1388)（%10）* 7）（%10）= (1 * 7) (% 10) = 7

计算完毕。

编程实现：

//欧拉函数
//求 1..n-1 中与 n 互质的数的个数
int eular(int n){
    int ret=1,i;
    for (i=2;i*i<=n;i++)
        if (n%i==0){
            n/=i,ret*=i-1;
            while (n%i==0)
                n/=i,ret*=i;
        }
    if (n>1)
        ret*=n-1;
    return ret;
}

例题：Super A^B mod C