素性检测

如何判断一个数是素数还是合数？

最简单的方法

从 1−n−−√ $1-\sqrt{n}$挨个除 n，如果能有一个能整除 n，则n不是素数，负责n是素数
缺点 如果n特别大，那么这种方法就非常耗时间且不容易实现

1 利用费马小定理判断

如果 p是素数 则 ap−1=1(mod m) $a^{p-1}=1\left(modm\right)$, 任意从1 - p 取a 的值进行判断，如果不成立，则a是合数，否则p可能是素数
缺点 卡米歇尔数
卡米歇尔数是这样的合数， 即对于每个整数1 <= a <= n, 都有
an=a(mod n) $a^n=a\left(modn\right)$
卡米歇尔数的考塞特判别法
设 n 是合数， 则n 是卡米歇尔数当且仅当n是奇数，且整数n的每个整数p满足下列两个条件：
（1） ： p2不整除n $p^2不整除n$
（2 ) : p−1|n−1 $p-1|n-1$

2 合数的拉宾-米勒测试

设n是奇数，记n-1 = 2^k * q, q 是奇数， 对不被n整除的某个a， 如果下述两个条件都成立， 则n是合数。
（a ） aq≢1（mod m) $a^q\not\equiv 1（modm)$
( b ) 对所有i=0，1，2，...,k−1,a2iq≢−1(mod m) $对所有i=0，1，2，...,k-1,a^{2^{i}q}\not\equiv -1\left(modm\right)$
这个定理的准确性建立在

如果n是奇合数，则1 与 n-1 之间至少有75% 的数可作为n的拉宾 - 米勒证据
意思就是如果n是奇合数， 则1 到n-1 之间至少有75% 的数使得拉宾-米勒测试成立
这样如果随机选取100个值，其中如果如果没有一个使得拉宾-米勒测试成立，则n为合数的概率小于0.25^100, 它近似等于 6∗10−61 $6\ast {10}^{-61}$

模板

// 能够判断的范围，1<=x < 2^63;

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
//typedef long long LL;
const int LEN  = 1e6+1;
bool vis[LEN];
//int prime[LEN];
int Prime[LEN];
int cnt = 1;
typedef unsigned long long LL;

LL modular_multi(LL x,LL y,LL mo) {
    LL t;
    x%=mo;
    for(t=0;y;x=(x<<1)%mo,y>>=1)
        if (y&1)
            t=(t+x)%mo;
    return t;
}

LL modular_exp(LL num,LL t,LL mo) {
    LL ret=1,temp=num%mo;
    for(;t;t>>=1,temp=modular_multi(temp,temp,mo))
        if (t&1)
            ret=modular_multi(ret,temp,mo);
    return ret;
}

bool miller_rabin(LL n) {
    if (n==2||n==7||n==61)
        return true;
    if (n==1||(n&1)==0)
        return false;
    int t=0,num[3]={2,7,61};//2,7,61对unsigned int内的所有数够用了，最小不能判断的数为4 759 123 141；用2,3,7,61在 10^16 内唯一不能判断的数是 46 856 248 225 981
    LL a,x,y,u=n-1;
    while((u&1)==0)
        t++,u>>=1;
    for(int i=0;i<3;i++) {
        a=num[i];
        x=modular_exp(a,u,n);
        for(int j=0;j<t;j++) {
            y=modular_multi(x,x,n);
            if (y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                return false;
            //其中用到定理，如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。
            //如果一个数x满足方程x^2≡1 (mod n),但x不等于对模n来说1的两个‘平凡’平方根：1或-1，则x是对模n来说1的非平凡平方根
            x=y;
        }
        if (x!=1)//根据费马小定理,若n是素数，有a^(n-1)≡1(mod n).因此n不可能是素数
            return false;
    }
    return true;
}
void init(void)
{
    int n = LEN -1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            Prime[cnt++] = i;
            for(LL j = (LL)i *  i; j <= n; j += i)
                vis[j] = 1;
        }
    }
}
bool isPrime(LL n)
{
    if(n < 1e6)
    {
        for(LL i = 1;i < cnt&&Prime[i] < n; ++i)
    {
        if(n % Prime[i] == 0)
         return false;
    }
    return true;
    }
    else
     return miller_rabin(n);
 }