ST表与树状数组

ST表

　st表可以解决区间最值的问题。可以做到O(nlogn)预处理，O（1）查询，但是不支持修改。

　　st表的大概思路就是用st[i][j]来表示从i开始的2的j次方个树中的最值，查询时就从左端点开始，找到区间长度是2的多少次方，然后进行查询。然而，很明显，我们要查询的区间长度不一定是2的多少次幂。那怎么做到O(1)查询呢，这就要用到最值的特性。

如图，假如我们要查询2到7之间的最大值，但是7-2+1在2²与2³之间，我们选择2²，也就是st[2][2],那剩下的6,7怎么办，我们考虑倒着从7往回算，也就是在st[7-2²][2]与st[2][2]取max作为从2到7的最大值。

　　首先，进行预处理，st[i][j]表示从i开始的2的j次方，那么st[i][j]就应该是从i开始2的j-1次方与从i+2^j-1开始的2的j-1次方中的最大值，那么进行递推就好了。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int N=100100;
 5 int n,m,a[N],st[N][20],log[N],cf[20];
 6 void pre()
 7 {
 8   log[2]=1;
 9   log[1]=0;
10   for(int i=3;i<=n;++i)
11   {
12     log[i]=log[i/2]+1;
13   }
14   cf[0]=1;
15   cf[1]=2;
16   for(int i=2;i<=log[n]+1;++i)
17   {
18     cf[i]=cf[i-1]*2;
19   }
20 }
21 int read()
22 {
23   int x=0,f=1;char c=getchar();
24   while(c<'0'||c>'9')
25   {
26     if(c=='-') f=-1;
27     c=getchar();
28   }
29   while(c>='0'&&c<='9')
30   {
31     x=x*10+c-'0';
32     c=getchar();
33   }
34   return x;
35 }
36 int ff(int x,int y)
37 {
38   int l=y-x+1,k=log[l];
39   int f=max(st[x][k],st[y-cf[k]+1][k]);
40   return f;
41 }
42 int main()
43 {
44   n=read(),m=read();
45   pre();
46   for(int i=1;i<=n;++i)
47   {
48     st[i][0]=a[i]=read();
49 
50   }
51 
52   for(int j=1;j<=log[n];++j)
53   {
54     for(int i=1;i+cf[j]-1<=n;++i)
55     {
56       st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+cf[j-1]][j-1]);
57     }
58   }
59   for(int i=1,x,y;i<=m;++i)
60   {
61     x=read(),y=read();
62     cout<<ff(x,y)<<"\n";
63   }
64   return 0;
65 }

树状数组

其实，树状数组的原理我并不是很懂，但是因为其短小精炼的代码，令我非常喜欢。。。。

树状数组不需要预处理，只有修改与查询两种操作。修改可以是加或减一个值，查询的是一个区间和。

首先我们需要一个数组tree。

然后就是修改，只需写一个几行的子函数，然后将修改元素的下标和要加的元素传入函数，然后奇迹就发生了。

查询传入要查询的下标就可以查询从1到改元素之间的区间和，如果查询从l到r，只需分别求出其从以到他们的区间和，然后相减即可，类似于前缀和。具体的都在代码里了。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int N=500005;
 5 int tree[N],n,m;
 6 void add(int a,int pos)
 7 {
 8     while(pos<=n){
 9         tree[pos]+=a;
10         pos+=pos&-pos;
11     }
12 }
13 int cc(int pos)
14 {
15     int ans=0;
16     while(pos>=1){
17         ans+=tree[pos];
18         pos-=pos&-pos;
19     }
20     return ans;
21 }
22 int main()
23 {
24     scanf("%d%d",&n,&m);
25     for(int i=1,x;i<=n;++i)
26     {
27         scanf("%d",&x);
28         add(x,i);
29     }
30     for(int i=1,bz,x,y;i<=m;++i){
31         scanf("%d%d%d",&bz,&x,&y);
32         if(bz==1)
33             add(y,x);
34         else{
35             int kk=cc(y),zz=cc(x-1);
36             printf("%d\n",kk-zz);
37         }
38     }
39     return 0;
40 }

上面讲的是树状数组的单点修改和区间查询，下面写一下，树状数组的区间修改单点查询。

首先介绍一下差分数组和前缀和。

前缀和就是记录前几个数的和，差分数组呢就是记录当前位置减去前一个位置的数的差。

然后要用到一个前缀和与差分数组的性质：前缀和数组的差分数组是原数组，差分数组的前缀和是原数组。

证明很显然，动手一推就知道了。

那么这与树状数组有什么关系呢，通过上面那个树状数组，我们知道，树状数组可以记录前几个数的和，现在我们要做的是区间修改和单点查询。

这时又要用到一个差分数组的一个性质。

差分数组进行区间加减时比较方便，比如如果将从i到j之间的数加k，那么只需将他们的差分数组i位置+k，并且将j+1位置的数-k即可。

证明同样很显然，动手推。

那么这就有联系了，我们树状数组维护的相当于是前缀和，然后我们如果用他维护原数组的差分数组，那么他就相当于维护的原数组，这样利用第一个性质单点查询就解决了。再就是区间修改，因为我们维护的是差分数组，所以利用性质二进行区间修改就好了。

看代码就很清楚明了了

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int N=500010;
 5 int n,m,a[N],tree[N];
 6 void read(int &x)
 7 {
 8   x=0;int f=1;char c=getchar();
 9   while(c<'0'||c>'9') {  if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
10   while(c>='0'&&c<='9'){ x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
11   x=x*f;
12 }
13 void add(int pos,int w)
14 {
15   while(pos<=n)
16   {
17     tree[pos]+=w;
18     pos+=pos&-pos;
19   }
20   return;
21 }
22 int ff(int pos)
23 {
24   int ans=0;
25   while(pos>=1)
26   {
27     ans+=tree[pos];
28     pos-=pos&-pos;
29   }
30   return ans;
31 }
32 
33 
34 int main()
35 {
36   int last=0;
37   read(n),read(m);
38   for(int i=1,x;i<=n;++i)
39   {
40     read(x);
41     add(i,x-last);
42     last=x;
43   }
44   for(int i=1,x,y,z,k;i<=m;++i)
45   {
46     read(x);
47     if(x==1)
48     {
49       read(y),read(z),read(k);
50       add(y,k);
51       add(z+1,-k);
52     }
53     else if(x==2)
54     {
55       read(y);
56       printf("%d\n",ff(y));
57     }
58   }
59   return 0;
60 }