2019-07-19 19:07 已编辑门头沟学院机器学习

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Beatty's theory

定理

当正无理数 $x$ 、 $y$ 满足下列式子时

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$

会有 $P=\{\lfloor{nx}\rfloor|n \in N^+\}$ , $Q=\{\lfloor{ny}\rfloor|n \in N^+\}$ ,使得集合P和集合Q正好是 $Z^+$ 的一个划分,即 $P\cup Q=Z^+$ 、 $P\cap Q=\emptyset$ .

证明

1.一个正整数在集合P或集合Q中至多出现一次

因为 $x>1$ 、 $y>1$ ，所以 $\lfloor{nx}\rfloor$ 不会存在相同的正整数， $\lfloor{ny}\rfloor$ 亦然。

2. $P\cap Q=\emptyset$

反证法来一手，假设有正整数n、m、k使得 $\lfloor{nx}\rfloor=\lfloor{my}\rfloor=k$ ，即

$k<nx<k+1$ $k<my<k+1$

转化一下

$\frac{n}{k+1}<\frac{1}{x}<\frac{n}{k}$ $\frac{m}{k+1}<\frac{1}{y}<\frac{m}{k}$

两式相加

$\frac{n+m}{k+1}<\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1<\frac{n+m}{k}$

再转化一下

$k<n+m<k+1$

因为n、m是正整数，所以不符合，所以 $P\cap Q=\emptyset$

3. $P\cup Q=Z^+$

继续反证法，假设有正整数n、m、k使得 $\lfloor{nx} \rfloor < k < \lfloor{(n+1)x} \rfloor$ 、 $\lfloor{my}\rfloor<k<\lfloor{(m+1)y}\rfloor$

再进一步说

$\lfloor{nx}\rfloor<nx<k\le\lfloor{(n+1)x}\rfloor-1<(n+1)x-1<\lfloor{(n+1)x}\rfloor$

类似

$\lfloor{my}\rfloor<my<k\le\lfloor{(m+1)y}\rfloor-1<(m+1)y-1<\lfloor{(m+1)y}\rfloor$

取出下列不等式构成不等式组

$nx<k<(n+1)x-1$ $my<k<(m+1)y-1$

转换一下

$\frac{n}{k}<\frac{1}{x}<\frac{n+1}{k+1}$ $\frac{m}{k}<\frac{1}{y}<\frac{m+1}{k+1}$

两式相加

$\frac{n+m}{k}<\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1<\frac{n+m+2}{k+1}$

转换一下

$n+m<k<k+1<n+m+2$

因为n、m是正整数，所以不符合，所以 $P\cup Q=Z^+$

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