题目

• 六一儿童节快要到了,牛妹为小伙伴们准备了一个小游戏，学会了可以将一堆小盆友驯（调）服（教）成功噢~
  第一步：你需要准备一堆小礼品，其中一份一定是所有小盆友都喜欢的，这个你懂哒~；
  第二步：让小盆友们围成一个大圈，你随机指定一个数m，让编号为1的小盆友开始报数；
  第三步：规定每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌，然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物，并且不再回到圈中，从他的下一个小朋友开始，继续1…m报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友，可以不用表演并且拿到最受欢迎的小礼品，至此小游戏结束；
  那么问题来了，你如何才能把最受欢迎的小礼品光（悄）明（声）大（息）的送给你最喜欢的小盆友呢？

思路

解法1：找规律。首先定义最初的n个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。在这n个数字中，第一个被删除的数字是（m-1）%n，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面函数，记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列：
k+1 -> 0
k+2 -> 1
…
n-1 -> n-k-2
0 -> n-k-1
…
k-1 -> n-2

把映射定义为p，则p(x)=(x-k-1)%n，即如果映射前的数字是x，则映射后的数字是(x-k-1)%n。对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。

由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m)。

根据我们的映射规则，映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)=p-1[f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。

把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字，并可以依此类推。当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为：

         0          n=1

f(n,m)={
[f(n-1,m)+m]%n n>1

尽管得到这个公式的分析过程非常复杂，但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的是，这是一种时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)的方法，因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。

代码

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1 ||m<1)
            return -1;
        int last = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)%i;
        }
        return last;
    }
}